一道计算机组成原理题目的总结

一道计算机组成原理题目的总结

有一个字长32位的浮点数，符号位1位；阶码 8 位，用移码表示；尾数 23 位，用补码表示，基为 2。请写出：(1)最大数的二进制表示；(2)最小数的二进制表示；(3)规格化数所能表示的数的范围。

首先注意，题目是使用了目前常用的32位浮点数的表示方法，即采用下图方式

其中，S为符号位，E为阶码（8位），M为尾数（23位）。 由于未指明使用IEEE754标准，则设移码采用移128码。

1. 最大数的二进制表示：

   最大数即为最大的正数，故
   • 符号位S为 0
   • 阶码E为1111 1111，实际指数值\(e=E-128=127\)，则实际值为 \(2^{127}\)
   • 尾数M为111 1111 1111 1111 1111 1111，即 \(1-2^{-23}\)

   故最大数为0 1111 1111 111 1111 1111 1111 1111 1111 即 \((1-2^{-23})\times2^{127}\)

2. 最小数的二进制表示：

   最小数即为最小的负数（绝对值最大的负数），故
   • 符号位S为 1
   • 阶码E为1111 1111，实际指数值\(e=E-128=127\)，则实际值为 \(2^{127}\)
   • 尾数M为000 0000 0000 0000 0000 0000，配合符号位为1，得实际值为 -1

   故最大数为0 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000 即 \(-1\times2^{127}\)

尾数M为000 0000 0000 0000 0000 0000，配合符号位为1，得实际值为 -1

关于上面这句话，应该这样理解：

虽然符号位S在表示的时候被放在了最前面，但是它本质上仍然可以认为是和尾数一体的，因为此时尾数才需要符号位。

• 对于正数，最大是0 111 1111 1111 1111 1111 1111，最前面的0表示正号，小数点在第一个1左边，因此这个数的值为\(+(1-2^{-23})\)
• 对于负数，我们知道，补码和原码、反码很大的一个不同点，就是将正零和负零统一了，以8位二进制表示为例，只保留0000 0000为0，原来的负零分配到了负数的表示范围，作为最小的负数。因而在补码表示中，负数范围始终比正数多一个。而这个题中的000 0000 0000 0000 0000 0000，其实就是1 000 0000 0000 0000 0000 0000，最前面的1表示负号，小数点在第一个0右边，根据补码的计算方法，“按位取反再加一”之后，小数点前面进了一位，小数点后全为0，故最终值为 -1，这也是能表示的最小负数，也就是最小数。